Cosinus et sinus hyperboliques, définitions et propriétés immédiates

Définition du cosinus hyperbolique

La fonction cosinus hyperbolique, notée \ch et définie sur \mathbb{R}, est la partie paire de la fonction exponentielle de base e :

\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \quad \ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

La fonction cosinus hyperbolique peut aussi être notée \cosh.

Définition du sinus hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, notée \sh et définie sur \mathbb{R}, est la partie impaire de la fonction exponentielle de base e :

\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \quad \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

La fonction sinus hyperbolique peut aussi être notée \sinh.

Dérivées des fonctions cosinus et sinus hyperboliques

Les fonctions cosinus et sinus hyperboliques sont donc dérivables sur \mathbb{R} et :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \ch^\prime x = \sh x
\forall x \in \mathbb{R} \quad \sh^\prime x = \ch x

Résolvons e^x - e^{-x} > 0
e^x > e^{-x}
Or \ln étant strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
x > -x
Ainsi e^x - e^{-x} > 0 \iff x>0

Nous avons donc que :

  • \ch est strictement décroissante sur ]-\infty;0] et est strictement croissante sur [0;+\infty[
  • \sh est strictement croissante sur \mathbb{R}

Courbes représentatives

Voici les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus hyperboliques :

Trigonométrie hyperbolique

Comme :
\ch x + \sh x = e^x
\ch x - \sh x = e^{-x}

Alors :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \ch^2 x - \sh^2 x = 1

Cherchons à avoir une représentation graphique des points M(t) de coordonnées (\ch t,\sh t) dans un plan muni d’un repère orthonormé.

Posons X = \ch t et Y = \sh t, donc :

Y^2 = X^2 - 1 et X \geq 0

Donc l’ensemble des points M(\ch t, \sh t) est représenté par les deux courbes y = \sqrt{x^2-1} et y = - \sqrt{x^2-1} pour x \geq 1.

Dans un plan muni d’un repère orthonormé, les points M(\ch t, \sh t) décrivent donc une demi-hyperbole équilatère.