Définition des nombres complexes et propriétés immédiates

Les nombres complexes jouent un rôle très important en mathématiques. Connaître leur définition et leurs propriétés immédiates est indispensable pour tout mathématicien.

Définition de l’ensemble des nombres complexes

L’ensemble des nombres complexes que l’on note est l’ensemble des couples de nombres réels ℝ² (aussi noté ℝ×ℝ).

L’addition des nombres complexes

L’addition des nombres complexes est définie de la manière suivante :

\forall (x,y) \in \mathbb{C} \quad \forall (x^\prime,y^\prime) \in \mathbb{C} \quad (x,y)+(x^\prime,y^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime)

L’addition des nombres complexes est associative et possède un élément neutre. De plus, chaque nombre complexe possède un symétrique pour la loi +.

  • Loi associative : ∀(z,z^\prime,z^{\prime\prime})∈ℂ^3 \quad (z+z^\prime)+z^{\prime\prime}=z+(z^\prime+z^{\prime\prime})
  • Élément neutre : ∀z∈ℂ \quad z+(0,0)=(0,0)+z=z
  • Symétrique : ∀z∈ℂ \quad ∃z^\prime∈ℂ \; tel que \; z+z^\prime=z^\prime+z=(0,0)

Ainsi (\mathbb{C},+), a une structure de groupe, et comme l’addition est en plus commutative sur , alors c’est un groupe abélien.

La multiplication des nombres complexes

La multiplication des nombres complexes est définie de la manière suivante :

\forall (x,y) \in \mathbb{C} \quad \forall (x^\prime,y^\prime) \in \mathbb{C} \quad (x,y) \times (x^\prime,y^\prime) = (xx^\prime-yy^\prime,xy^\prime+x^\prime y)

La loi de multiplication sur est associative et possède un élément neutre. De plus, tout élément non nul de \mathbb{C} possède un symétrique pour \times.

  • Loi associative : ∀(z,z^\prime,z^{\prime\prime})∈ℂ^3 \quad (z×z^\prime)×z^{\prime\prime}=z×(z^\prime×z^{\prime\prime})
  • Élément neutre : ∀z∈ℂ \quad z×(1,0)=(1,0)×z=z
  • Symétrique : ∀z∈ℂ^* \quad ∃z^\prime∈ℂ^* \; tel que \; z×z^\prime=z^\prime×z=(1,0)

La loi de multiplication sur les nombres complexes est de plus commutative, donc (ℂ^*,×) est également un groupe abélien.

La loi de multiplication est distributive par rapport à l’addition dans les nombres complexes :

∀(z,z^\prime,z^{\prime\prime})∈ℂ^3 \quad (z+z^\prime)×z^{\prime\prime}=z×z^{\prime\prime}+z^\prime×z^{\prime\prime}

L’ensemble des nombres complexes est un corps commutatif

(ℂ,+) et (ℂ^*,×) étant deux groupes abéliens et la loi × étant distributive par rapport à la loi + sur , nous pouvons donc en conclure que (ℂ,+,×) est un corps commutatif.

Notation d’un nombre complexe

On note i le nombre complexe (0,1). On remarque immédiatement que i^2=(-1,0). Grâce à ce nombre, un nombre complexe z=(x,y) peut alors s’écrire sous la forme z=x+iy. Ainsi i^2=-1.

Ainsi (0,0) s’écrira plus simplement 0 et (1,0) s’écrira quant à lui 1.

Pour tout nombre complexe z=x+iy, x et y étant deux nombres réels :

  • x est appelé la partie réelle de z et peut s’écrire ℜ(z) ou Re(z)
  • y est appelé la partie imaginaire de z et peut s’écrire ℑ(z) ou Im(z)

Nombre réel et nombre imaginaire

Un nombre complexe z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

En mathématiques, un nombre complexe z est dit imaginaire si et seulement si sa partie réelle est nulle. L’ensemble des nombres imaginaires est notée i\mathbb{R}.

Expressions des symétriques

Soit z un nombre complexe et (x,y) un couple de réels tels que z=x+iy.

Alors le symétrique de z pour la loi de l’addition est -z=-x+i(-y) et son symétrique pour la loi de multiplication est (si z est non nul) :

\displaystyle z^\prime=\frac{x-iy}{x²+y²}=\frac{1}{z}

Conjugué d’un nombre complexe

Soit z un nombre complexe tel que z=x+iy avec (x,y)∈ℝ². Alors on appelle en mathématiques le conjugué du nombre complexe z le nombre complexe écrit \bar{z} tel que \bar{z}=x-iy.

La conjugaison d’un nombre complexe est une fonction involutive, c’est-à-dire que :

\forall z \in \mathbb{C} \quad \overline{(\bar{z})}=z

Nous pouvons vérifier facilement les propriétés mathématiques suivantes :

\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}^2 \quad \overline{z+z^\prime}=\bar{z}+\overline{z^\prime}
\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}^2 \quad \overline{z \cdot z^\prime} = \bar{z} \cdot \overline{z^\prime}
\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}^2 \quad \overline{z-z^\prime}=\bar{z}-\overline{z^\prime}
\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^* \quad \overline{(\frac{z}{z^\prime})} = \frac{\bar{z}}{\overline{z^\prime}}
\forall (n,z) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{C}^* \quad \overline{nz} = n\bar{z} \quad et \quad \overline{z^n} = \bar{z}^n

On peut aussi exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe grâce à son conjugué :

\displaystyle \forall z \in \mathbb{C} \quad \Re{(z)} = \displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2} \quad et \displaystyle \quad \Im{(z)} = \frac{z-\bar{z}}{2i}

Et de ces formulations, on en conclut les équivalences mathématiques suivantes :

\forall z \in \mathbb{C} \quad z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}
\forall z \in \mathbb{C} \quad z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}

Représentation géométrique d’un nombre complexe

En géométrie, un nombre complexe z = x + iy peut facilement être représenté par un point M d’abscisse x et d’ordonnée y dans un plan muni d’un repère orthonormé.

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Dans ce cas, le nombre complexe z est appelé affixe du point M et réciproquement M est appelé image de z dans le plan complexe P.

(O,\vec{u}) et (O,\vec{v}) sont appelés respectivement axe des réels et axes des ordonnées.

D’autre part, si M est l’image du nombre complexe z et M' l’image de son conjugué, alors M' n’est autre que le symétrique du point M par rapport à l’axe des réels comme on peut le voir dans l’illustration suivante :

Représentation géométrique du conjugué d'un nombre complexe

Grâce à cette représentation géométrique des nombres complexes, il est facile de voir que la conjugaison d’un nombre complexe est bien une fonction mathématique involutive.