Fonction tangente hyperbolique, définition et propriétés immédiates

Définition

Nous notons \th ou \tanh la fonction tangente hyperbolique définie sur \mathbb{R} telle que :

\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \quad \th x = \frac{\sh x}{\ch x}

Remarquons que pour x \in \mathbb{R} \quad \th (-x) = - \th x, la tangente hyperbolique est donc une fonction impaire.

Dérivée

La fonction tangente hyperbolique est dérivable sur \mathbb{R} et pour x \in \mathbb{R} :

\displaystyle \th^\prime x = \frac{\ch^2 x - \sh^2 x}{\ch^2 x}

Or grâce à notre étude des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on sait que \ch^2 x - \sh^2 x = 1

Donc :

\displaystyle x \in \mathbb{R} \quad \th^\prime x = 1 - \th^2 x = \frac{1}{\ch^2 x}

On en conclut que la fonction tangente hyperbolique est strictement croissante sur \mathbb{R}.

\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \quad \th x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}

De ces deux dernières formulations, on en déduit que :

\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \th x =-1
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \th x =1

Représentation graphique

Voici la courbe représentative de la fonction tangente hyperbolique :