Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

Pour comprendre ce cours de mathématiques sur la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, vous avez besoin de connaître la définition des nombres complexes ainsi que celle du groupe \mathbb{U} des nombres complexes de module 1 (et ses propriétés immédiates).

Définition de la forme trigonométrique

Soit z un nombre complexe non nul. Le nombre complexe \frac{z}{|z|} appartient alors au groupe \mathbb{U}.

Or d’après ce théorème mathématique sur les nombres complexes de module 1, il existe un nombre réel \theta tel que \frac{z}{|z|}=e^{i\theta}.

Ainsi :

\forall z \in \mathbb{C}^* \; \exists \theta \in \mathbb{R} \; tel que \; z = |z| e^{i \theta}

C’est ce que nous appelons la forme trigonométrique du nombre complexe non nul z.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

Argument d’un nombre complexe non nul

Le nombre réel \theta est appelé un argument du nombre complexe z.

L’ensemble des arguments de z est \{\theta+2k\pi , k\in\mathbb{Z}\}

On note \theta=\arg(z)

Propriétés immédiates des arguments des nombres complexes non nuls

Soient z et z^\prime deux nombres complexes non nuls.

Comme pour tous nombres réels \theta et \theta^\prime : e^{i\theta}e^{i\theta^\prime}=e^{i(\theta+\theta^\prime)}

On en déduit les propriétés mathématiques suivantes :

\arg(zz^\prime)=\arg(z)+\arg(z^\prime)\quad[2\pi]

\arg(\frac{z}{z^\prime})=\arg(z)-\arg(z^\prime)\quad[2\pi]

\arg(z^n)=n\arg(z)\quad[2\pi]\; pour tout \;n\in\mathbb{Z}

Attention : il ne faut pas confondre la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul avec l’exponentielle complexe.