Identités remarquables et formule du binôme

Connaître les identités remarquables permet de développer (linéariser) facilement des puissances, et surtout de factoriser (réduire) des formules. Il est très important et très utile de connaître ces formules.

Les identités remarquables sont aussi appelées égalités remarquables.

Soient {a} et {b} deux nombres complexes.

Identités remarquables de degré 2

Ce sont les identités remarquables les plus connues.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Identités remarquables de degré 3 à 5

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a-b)^3 = a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b+6a^2b^2 +4ab^3 + b^4
(a-b)^4 = a^4 -4a^3b+6a^2b^2 -4ab^3+b^4

(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5

Formule du binôme

La formule du binôme est la formule générale des identités remarquables pour un entier n quelconque.

Pour n \in \mathbb{N}\quad \displaystyle ( a+b)^{n} =\sum ^{n}_{k=0}\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}

Rappelons que \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

La démonstration de la formule du binôme se fait par récurrence.