La fonction exponentielle, définition et propriétés immédiates

Nous avons précédemment défini la fonction logarithme népérien. Cette fonction est continue et est strictement croissante sur \mathbb{R}^*_+, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln x=- \infty et \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \ln x = +\infty, elle réalise donc une bijection de \mathbb{R}^*_+ sur \mathbb{R}.

Définition de la fonction exponentielle

Notons \exp : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R^*_+} la bijection réciproque du logarithme népérien.

Propriétés immédiates de la fonction exponentielle

Comme \ln 1 = 0 alors :

\exp(0) = 1

Soient a et b deux nombres réels, alors \exp (a) > 0 et \exp (b) > 0 et :

\ln (\exp (a) \exp (b)) = \ln \exp (a) + \ln \exp (b)
\ln (\exp (a) \exp (b)) = a +b
En composant par \exp, on obtient :

\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2 \quad \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)

De cette relation, on en déduit que :

\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2 et \forall k \in \mathbb{Z}
\displaystyle \exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)}
\displaystyle \exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}
\exp(ka) = (\exp (a))^k

On note e le réel tel que e = \exp(1)

Pour k \in \mathbb{Z} \quad \exp(k\times 1) = \exp(1)^k, ainsi :

\forall k \in \mathbb{Z} \quad \exp(k)=e^k

Notation courante de la fonction exponentielle

Par extension, on note la fonction exponentielle de la manière suivante (définition) :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \exp(x) = e^x

On appelle cette fonction l’exponentielle de base e.

Représentation graphique

Courbe représentative de la fonction exponentielle de base e :

Représentations graphiques des fonctions exponentielle et logarithme :

Dérivée de la fonction exponentielle

e est la bijection réciproque d’une fonction continue, dérivable et ne s’annulant pas sur son ensemble de définition, on en conclut que e est dérivable sur \mathbb{R} et :

(\ln \circ \ e)^\prime = e^\prime \times \ln^\prime \circ \ e (formule de la dérivée de fonctions composées)
\displaystyle (\ln \circ \ e)^\prime = \frac{e^\prime}{e}

Or \displaystyle \ln \circ \ e = \operatorname{Id}_\mathbb{R}

On en conclut que :

e^\prime = e

La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Fonction exponentielle de base a

Définition

Pour a un réel strictement positif, on définit la fonction exponentielle de base a sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \exp_a(x)=e^{x \ln a}

Or d’après notre première étude sur le logarithme népérien, on sait que :

\forall k \in \mathbb{Z} \quad k \ln a = \ln (a^k)

Donc :

\forall k \in \mathbb{Z} \quad \exp_a(k)=a^k

Par définition, nous étendons cette notation pour tout k de \mathbb{R}, c’est-à-dire que :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \exp_a(x)=a^x

Propriétés immédiates

Comme pour x \in \mathbb{R} \quad \ln a^x = \ln e^{x \ln a}, on a :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \ln a^x = x \ln a

Soit (x,y) \in \mathbb{R}^2

a^{x+y} = e^{(x+y) \ln a}
a^{x+y} = e^{x \ln a + y \ln a}
a^{x+y} = e^{x \ln a} e^{y \ln a}

On en conclut que :

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \quad a^{x+y} = a^x a^y

Il en découle que :

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2
\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^x}
\displaystyle a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}

De plus \displaystyle(a^x)^y = e^{y \ln a^x} = e^{y x \ln a}, donc :

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \quad (a^x)^y = a^{xy}

Soit maintenant a et b deux nombres réels strictement positifs, et x un réel quelconque.

(ab)^x = e^{x \ln (ab)} = e^{x \ln a + x \ln b} = e^{x \ln a} e^{x \ln b}

On en conclut que :

\forall (a,b) \in \mathbb{R}^{+2}_* \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad (ab)^x = a^x b^x

Dérivée

La fonction exponentielle de base e étant dérivable sur \mathbb{R}, alors la fonction exponentielle de base a l’est aussi et pour x \in \mathbb{R} :

(\exp_a)^\prime (x) = \ln a \times e^{x \ln a}

\forall x \in \mathbb{R} \quad (\exp_a)^\prime (x) = \ln a \times (\exp_a)(x) = a^x\ln a

On remarque que si a < 1 alors x \mapsto a^x est strictement décroissante sur \mathbb{R}, si a > 1 alors x \mapsto a^x est strictement croissante sur \mathbb{R}, et bien sûr si a=1 \quad a^x=1 pour tout x de \mathbb{R}.

Courbes représentatives

Voici des exemples de représentations graphiques de plusieurs fonctions exponentielles de base a :