Linéarisation d’expressions trigonométriques
Il est possible de linéariser des polynômes trigonométriques en utilisant les formules d’Euler, lesquelles je vous rappelle sont pour x\in\mathbb{R} :
\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\displaystyle \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
Polynôme trigonométrique
Rappelons une définition mathématique : un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire de \cos^mx\sin^nx où (m,n)\in\mathbb{N}^2 et x\in\mathbb{R}.
Exemple de linéarisation d’un polynôme trigonométrique
\displaystyle \cos² x \sin x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^2 \left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (e^{2ix} + e^{-2ix} + 2)(e^{ix}-e^{-ix})
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (e^{3ix}-e^{-3ix}+e^{ix}-e^{ix})
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (2i \sin{3x} + 2i \sin x)
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{4} \sin 3x + \frac{1}{4} \sin x
Factorisation d’une expression trigonométrique
De la même manière (même si cela est plus difficile), on peut factoriser une expression trigonométrique en utilisant les formules d’Euler.
Exemple :
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2} + 3 \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} (e^{3ix}+3e^{-ix}+3e^{ix}+e^{-3ix}) C’est une identité remarquable de degré 3.
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} (e^{ix}+e^{-ix})^3
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} \times 8 \cos^3 x
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = 4 \cos^3 x
Calcul de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x
Rappelons la formule de Moivre :
\forall x \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \cos nx + i \sin nx = (\cos x + i \sin x)^n
C’est en utilisant cette formule et en la développant que nous pouvons exprimer \cos nx et \sin nx en fonction de \cos x et \sin x.
Exemple : calculons \cos 3x et \sin 3x en fonction de \cos x et \sin x.
\cos 3x + i \sin 3x = (\cos x + i \sin x)^3
\cos 3x + i \sin 3x = \cos^3 x + 3i\cos² x \sin x -3 \cos x \sin² x -i \sin ^3 x
\cos 3x + i \sin 3x = (\cos^3 x -3 \cos x \sin² x)+ i(3\cos² x \sin x - \sin^3 x)
Donc :
\cos 3x = \cos^3 x - 3 \cos x \sin² x
\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x
et
\sin 3x = 3 \cos² x \sin x - \sin^3 x
\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin ^3 x
Calcul des sommes de cos(a+kb) et de sin(a+kb)
Soient (a,b) \in \mathbb{R}^2 et n \in \mathbb{N}, nous cherchons à calculer \displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) et \displaystyle \sum^{n}_{k=0}\sin(a+kb).
Pour cela remarquons tout d’abord que pour k \in ⟦a,b⟧ :
\displaystyle e^{i(a+kb)} = \cos (a+kb) + i \sin (a+kb)
Donc :
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = \Re{\left(\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)}\right)}
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = \Im{\left(\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)}\right)}
Faisons alors les calculs :
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \sum_{k=0}^{n} e^{ikb}
Si b \in 2\pi\mathbb{Z}, alors :
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = (n+1) e^{ia}
Et donc :
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = (n+1)\cos a
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = (n+1)\sin a
Si b \notin 2\pi\mathbb{Z}, alors dans ce cas :
\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{ikb} est la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique \displaystyle \left(e^{ikb}\right)_{k\in\mathbb{N}} de raison e^{ib}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \frac{1-e^{i(n+1)b}}{1-e^{ib}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \frac{e^{i\frac{(n+1)b}{2}}}{e^{i\frac{b}{2}}} \cdot \frac{e^{-i\frac{(n+1)b}{2}} - e^{i\frac{(n+1)b}{2}}}{e^{-i\frac{b}{2}} - e^{i\frac{b}{2}}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times e^{i\frac{nb}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{i\left(a+\frac{nb}{2}\right)} \cdot \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}
Nous pouvons en conclure que :
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = \cos \left(a+\frac{nb}{2}\right) \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = \sin \left(a+\frac{nb}{2}\right) \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}