La trigonométrie avec les nombres complexes

L'utilisation des nombres complexes en mathématiques permet de faciliter de nombreux calculs trigonométriques. Vous trouverez dans cette page la liste des plus importantes opérations trigonométriques en utilisant les propriétés des nombres complexes.

Linéarisation d’expressions trigonométriques

Il est possible de linéariser des polynômes trigonométriques en utilisant les formules d’Euler, lesquelles je vous rappelle sont pour x\in\mathbb{R} :

\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\displaystyle \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Polynôme trigonométrique

Rappelons une définition mathématique : un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire de \cos^mx\sin^nx(m,n)\in\mathbb{N}^2 et x\in\mathbb{R}.

Exemple de linéarisation d’un polynôme trigonométrique

\displaystyle \cos² x \sin x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^2 \left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (e^{2ix} + e^{-2ix} + 2)(e^{ix}-e^{-ix})
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (e^{3ix}-e^{-3ix}+e^{ix}-e^{ix})
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{8i} (2i \sin{3x} + 2i \sin x)
\displaystyle \cos² x \sin x = \frac{1}{4} \sin 3x + \frac{1}{4} \sin x

Factorisation d’une expression trigonométrique

De la même manière (même si cela est plus difficile), on peut factoriser une expression trigonométrique en utilisant les formules d’Euler.

Exemple :

\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2} + 3 \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} (e^{3ix}+3e^{-ix}+3e^{ix}+e^{-3ix}) C’est une identité remarquable de degré 3.
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} (e^{ix}+e^{-ix})^3
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = \frac{1}{2} \times 8 \cos^3 x
\displaystyle \cos 3x + 3 \cos x = 4 \cos^3 x

Calcul de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x

Rappelons la formule de Moivre :

\forall x \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \cos nx + i \sin nx = (\cos x + i \sin x)^n

C’est en utilisant cette formule et en la développant que nous pouvons exprimer \cos nx et \sin nx en fonction de \cos x et \sin x.

Exemple : calculons \cos 3x et \sin 3x en fonction de \cos x et \sin x.

\cos 3x + i \sin 3x = (\cos x + i \sin x)^3
\cos 3x + i \sin 3x = \cos^3 x + 3i\cos² x \sin x -3 \cos x \sin² x -i \sin ^3 x
\cos 3x + i \sin 3x = (\cos^3 x -3 \cos x \sin² x)+ i(3\cos² x \sin x - \sin^3 x)

Donc :

\cos 3x = \cos^3 x - 3 \cos x \sin² x
\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x

et

\sin 3x = 3 \cos² x \sin x - \sin^3 x
\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin ^3 x

Calcul des sommes de cos(a+kb) et de sin(a+kb)

Soient (a,b) \in \mathbb{R}^2 et n \in \mathbb{N}, nous cherchons à calculer \displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) et \displaystyle \sum^{n}_{k=0}\sin(a+kb).

Pour cela remarquons tout d’abord que pour k \in ⟦a,b⟧ :

\displaystyle e^{i(a+kb)} = \cos (a+kb) + i \sin (a+kb)

Donc :

\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = \Re{\left(\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)}\right)}
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = \Im{\left(\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)}\right)}

Faisons alors les calculs :

\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \sum_{k=0}^{n} e^{ikb}

Si b \in 2\pi\mathbb{Z}, alors :

\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = (n+1) e^{ia}

Et donc :

\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = (n+1)\cos a
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = (n+1)\sin a

Si b \notin 2\pi\mathbb{Z}, alors dans ce cas :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{ikb} est la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique \displaystyle \left(e^{ikb}\right)_{k\in\mathbb{N}} de raison e^{ib}

\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \frac{1-e^{i(n+1)b}}{1-e^{ib}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times \frac{e^{i\frac{(n+1)b}{2}}}{e^{i\frac{b}{2}}} \cdot \frac{e^{-i\frac{(n+1)b}{2}} - e^{i\frac{(n+1)b}{2}}}{e^{-i\frac{b}{2}} - e^{i\frac{b}{2}}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{ia} \times e^{i\frac{nb}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}
\displaystyle\sum^{n}_{k=0}e^{i(a+kb)} = e^{i\left(a+\frac{nb}{2}\right)} \cdot \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}

Nous pouvons en conclure que :

\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\cos( a+kb) = \cos \left(a+\frac{nb}{2}\right) \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}
\displaystyle \sum ^{n}_{k=0}\sin( a+kb) = \sin \left(a+\frac{nb}{2}\right) \frac{\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2}}