Le logarithme de base a, définition et propriétés immédiates

Pour comprendre ce cours, il vous faut connaître au préalable le logarithme népérien et l’exponentielle de base a.

Définition

Soit a \in \mathbb{R}^+_* \backslash \{1\} (donc \ln a \neq 0).

Nous appelons logarithme de base a et nous notons \log_a la fonction définie sur \mathbb{R}^+_* par :

\displaystyle \log_a : x \mapsto \frac{\ln x}{\ln a}

Bijection réciproque

Soit x \in \mathbb{R}

\displaystyle \log_a a^x = \frac{\ln a^x}{\ln a}
\displaystyle \log_a a^x = \frac{x \ln a}{\ln a}
\displaystyle \log_a a^x = x

Donc \log_a \circ \ \exp_a = \operatorname{Id}_\mathbb{R}

Réciproquement, soit x \in \mathbb{R}^+_*

a^{\log_a(x)} = e^{\log_a{x} \times \ln a}
\displaystyle a^{\log_a(x)} = e^{\frac{\ln x}{\ln a} \times \ln a}
\displaystyle a^{\log_a(x)} = e^{\ln x} = x

Donc \exp_a \circ \ \log_a = \operatorname{Id}_{\mathbb{R}^+_*}

De ces deux précédentes constatations, on en conclut que :

\log_a est une bijection de \mathbb{R}^+_* sur \mathbb{R}, de fonction réciproque \exp_a

Dérivée

\log_a est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et :

\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+_* \quad (\log_a)^\prime(x) = \frac{1}{x \ln a}

Représentation graphique

Voici les courbes représentatives du logarithme de base a pour différentes valeur de a :