Les fonctions puissances, définition et propriétés immédiates

Définition

Rappelons que pour tout a \in \mathbb{R}^*_+, la fonction exponentielle de base a est définie sur \mathbb{R} par a^x = e^{x \ln a}.

On peut donc définir sur \mathbb{R}^*_+ et pour \alpha \in \mathbb{R} la fonction puissance telle que :

p_\alpha(x) = x^\alpha

On peut donc aussi écrire p_\alpha(x) = e^{\alpha \ln x}

On peut donc en déduire facilement que :

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{*2}_+ \quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha

Etude de la dérivée

La fonction puissance est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ car elle est la composée de deux fonctions dérivables et sa dérivée vaut :

\displaystyle p_\alpha^\prime (x) = \frac{\alpha}{x} e^{\alpha \ln x}
\displaystyle p_\alpha^\prime (x) = \alpha x^{-1} x^\alpha

\forall x \in \mathbb{R}^*_+ \quad p_\alpha^\prime (x) = \alpha x^{\alpha -1}

  • Si \alpha < 0 alors p_\alpha est strictement décroissante sur \mathbb{R}^*_+.
    De plus \lim\limits_{x \rightarrow 0} a^x = + \infty et \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} a^x = 0.
  • Si \alpha > 0 alors p_\alpha est strictement croissante sur \mathbb{R}^*_+.
    De plus \lim\limits_{x \rightarrow 0} a^x = 0 et \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} a^x = + \infty.
  • Si \alpha =0 alors p_\alpha est constante sur \mathbb{R}^*_+ et vaut 1.

Prolongements en 0

Pour \alpha \geq 0, on peut prolonger la fonction puissance par continuité en 0 avec :

  • p_\alpha (0)= 0 si \alpha > 0
  • p_\alpha (0) = 1 si \alpha = 0

Voyons maintenant dans quels cas cette fonction puissance prolongée par continuité est dérivable en 0.

  • Si \alpha < 1 alors \lim\limits_{x \rightarrow 0} p_\alpha^\prime (x) = + \infty, donc p_\alpha n’est pas dérivable en 0
  • Si \alpha > 1 alors \lim\limits_{x \rightarrow 0} p_\alpha^\prime (x) = 0, donc p_\alpha est dérivable en 0 et p_\alpha^\prime (0) = 0
  • Si \alpha = 1 alors p_\alpha^\prime est constante égale à 1, donc p_\alpha est dérivable en 0 et p_\alpha^\prime (0) = 1

Représentations graphiques

Voici quelques courbes représentatives des fonctions puissances pour différentes valeurs de \alpha :