Les nombres complexes de module 1 : le groupe U

Ce cours de mathématiques est la suite de Module d’un nombre complexe : définition et propriétés importantes. Parmi les nombres complexes, il existe un sous-ensemble remarquable : ceux dont le module vaut 1. Zoom sur le groupe \mathbb{U}.

Définition du groupe U

Notons \mathbb{U} l’ensemble des nombres complexes de module 1, en d’autres termes :

\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} \; : \; |z| = 1\}

Munissons cet ensemble de la loi de multiplication que nous avons défini sur \mathbb{C}. Cette loi dans \mathbb{U} vérifie les propriétés mathématiques suivantes :

  • C’est une loi de composition interne : \forall(z,z^\prime)\in\mathbb{U}, |zz^\prime|=|z||z^\prime|=1, donc zz^\prime\in\mathbb{U} ;
  • Comme la loi \times est associative dans \mathbb{C}, elle l’est aussi sur \mathbb{U} ;
  • L’élément neutre de cette loi, 1, appartient bien à \mathbb{U} ;
  • Comme tout élément z de \mathbb{U} est non nul, alors il possède bien un inverse dans \mathbb{C} qui vaut \frac{1}{z} et dont le module vaut bien 1, ainsi l’inverse de z appartient lui aussi à \mathbb{U}.

(\mathbb{U},\times) est donc un groupe, on dit que c’est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*,\times).

Le cercle trigonométrique

D’un point de vue géométrique, l’ensemble des points du plan complexe (O,\vec{u},\vec{v}) dont l’affixe appartient à \mathbb{U} est le cercle de centre O et de rayon 1. On appelle ce dernier le cercle trigonométrique .

Cercle trigonométrique

Forme trigonométrique d'un nombre complexe de module 1

Théorème mathématique :

\displaystyle z \in \mathbb{U} \iff \exists \theta \in \mathbb{R} , z = \cos \theta + i \sin \theta

Démonstration de ce théorème mathématique :

Soit \theta\in\mathbb{R} et z=\cos\theta+i\sin\theta.
|z|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1 donc z\in\mathbb{U}.

Réciproquement, soient z\in\mathbb{U} et (x,y)\in\mathbb{R}^2 tels que z=x+iy.
Donc x^2+y^2=1, il existe alors \theta\in\mathbb{R} tel que x=\cos\theta et y=\sin\theta, d’où z=\cos\theta+i\sin\theta.

Attention : \theta dans l’écriture z=\cos\theta+i\sin\theta n’est pas unique. En effet tous les réels de l’ensemble \{\theta^\prime\in\mathbb{R} : \theta^\prime=\theta+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\} peuvent convenir.

Définition mathématique :

Pour tout réel \theta, nous définissons la notation mathématique suivante : e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

z \in \mathbb{U} \iff \exists \theta \in \mathbb{R}, z = e^{i\theta}

Théorème mathématique :

\forall (\theta,\theta^\prime) \in \mathbb{R}² \quad e^{i\theta} e^{i\theta^\prime} = e^{i(\theta + \theta^\prime)}

Démonstration de ce théorème mathématique :

Soit (\theta,\theta^\prime)\in\mathbb{R}^2

e^{i\theta} e^{i\theta^\prime} = (\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta^\prime + i \sin \theta^\prime)

Or rappelez-vous les formules de trigonométrie de l’addition, et on obtient :

e^{i\theta} e^{i\theta^\prime} = \cos (\theta + \theta^\prime) + i \sin (\theta + \theta^\prime)
e^{i\theta} e^{i\theta^\prime} =e^{i(\theta + \theta^\prime)}

CQFD

Continuons d’explorer e^{i\theta} :

\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta
\overline{z}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)
\overline{z}=e^{-i\theta}

Donc pour z=e^{i\theta}\in\mathbb{U} :

\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\overline{z}
C’est-à-dire que \displaystyle \frac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}

Ainsi on en déduit facilement que \displaystyle \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta^\prime}}=e^{i(\theta-\theta^\prime)}

Et enfin pour tout \theta\in\mathbb{R} et n\in\mathbb{Z} : (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}

Formule de Moivre

De la dernière assertion, on en conclut la formule mathématique suivante, dite de Moivre :

\forall (\theta,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Z} \quad (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta

Formules d’Euler

Nous avons vu au précédemment que pour z=e^{i\theta}, on a \overline{z}=e^{-i\theta}.

On obtient donc les formules mathématiques suivantes, dites d’Euler :

\displaystyle \Re (z) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad et \quad \Im (z) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}