L'exponentielle complexe, définition et propriétés immédiates

Définition

On définit l’exponentielle complexe comme étant la fonction de \mathbb{C} dans \mathbb{C} telle que pour z=x+iy, avec (x,y)\in\mathbb{R}^2 :

e^z = e^x e^{iy}

Donc e^z=e^x(\cos y+i\sin y) (voir la forme trigonométrique d’un nombre complexe de module 1).

Propriétés

Après quelques calculs mathématiques simples, on obtient les formules suivantes :

\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}² \; et \; \forall n \in \mathbb{Z}
e^z e^{z^\prime} = e^{(z+z^\prime)}
\displaystyle \frac{e^z}{e^{z^\prime}} = e^{(z-z^\prime)}
\displaystyle (e^z)^n = e^{nz}

Attention, il ne faut pas confondre l’exponentielle complexe avec la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.