Module d'un nombre complexe : définition et propriétés importantes

Module d'un nombre complexe

Ce cours de mathématiques sur le module d’un nombre complexe est la suite de celui sur la définition des nombres complexes et de leurs propriétés immédiates.

Définition du module d’un nombre complexe

Soit z \in \mathbb{C} et (x,y)\in\mathbb{R}^2 tel que z=x+iy. On appelle module de z le réel positif noté |z| tel que :

|z| = \sqrt{x²+y²}

D’autre part, on peut remarquer les propriétés mathématiques :

z\bar{z} = (x+iy)(x-iy)
z\bar{z} = x²-ixy+ixy-y²
z\bar{z} = x²+y²

On conclut que :

\displaystyle |z| = \sqrt{z\bar{z}}

Cette formule mathématique très pratique et synthétique permet de s’affranchir des parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe pour en calculer son module.

Signification du module dans le plan complexe

Soit un nombre complexe z et M son image dans le plan complexe (O,\vec{u},\vec{v}), alors le module de z est tout simplement la distance entre le point O et le point M.

Signification du module d'un nombre complexe dans le plan orthonormé

Soit M et A deux points du plan complexe (O,\vec{u},\vec{v}), d’affixes respectives z et a. Alors |z-a| n’est autre que la distance entre le point M et le point A.

Cette notion de distance est importante en mathématiques et elle permet de définir facilement les cercles, les disques fermés et les disques ouverts :

  • Cercle de centre A et de rayon R \in \mathbb{R}_{+} : \{M \in P, |z-a| = R\}
  • Disque ouvert de centre A et de rayon R \in \mathbb{R}_{+} : \{M \in P, |z-a| < R\}
  • Disque fermé de centre A et de rayon R \in \mathbb{R}_{+} : \{M \in P, |z-a| \leqslant R\}

z est l’affixe de M et a celui de A.

Théorème de la multiplication des modules des nombres complexes

\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}² \quad |zz^\prime| = |z| |z^\prime|

Démonstration de ce théorème mathématique :

Soit \displaystyle (z,z^\prime) \in \mathbb{C}^2, alors
\displaystyle |zz^\prime|^2 = (zz^\prime)(\overline{zz^\prime})
|zz^\prime|^2 = (zz^\prime)(\overline{z}\overline{z^\prime})
|zz^\prime|^2 = (z\overline{z})(z^\prime\overline{z^\prime})
|zz^\prime|^2 = |z|^2 |z^\prime|^2
|zz^\prime| = |z| |z^\prime|

Corollaires mathématiques :

\displaystyle \forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^* \quad \left| \frac{z}{z^\prime} \right| = \frac{|z|}{|z^\prime|}
\displaystyle \forall z \in \mathbb{C}^* \quad \forall n \in \mathbb{Z} \quad |z^n| = |z|^n

Inégalité triangulaire

\forall (z,z^\prime) \in \mathbb{C}² \quad |z+z^\prime| \leqslant |z| + |z^\prime|

Démonstration de ce théorème mathématique :

|z+z^\prime|^2 = (z+z^\prime)(\overline{z+z^\prime})
|z+z^\prime|^2 = z\overline{z}+z\overline{z^\prime}+\overline{z}z^\prime+z^\prime\overline{z^\prime}
|z+z^\prime|^2 = |z|^2+2\Re(z\overline{z^\prime})+|z^\prime|^2

(|z|+|z^\prime|)^2 = |z|^2+2|z||z^\prime|+|z^\prime|^2
(|z|+|z^\prime|)^2 = |z|^2+2|z\overline{z^\prime}|+|z^\prime|^2

Or \Re{(z\overline{z^\prime})}\leqslant|z\overline{z^\prime}| car \Re{(a)}^2\leqslant\Re{(a)}^2+\Im{(a)}^2 pour tout nombre complexe a.

Donc |z+z^\prime|^2 \leqslant (|z|+|z^\prime|)^2 CQFD

Cette inégalité triangulaire signifie tout simplement qu’il est toujours plus rapide d’aller directement du point A au point C, que d’aller du point A au point C en passant par le point B.