Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Dans ce cours de mathématiques, nous allons étudier les racines n-ièmes d’un nombre complexe, c’est-à-dire que nous allons déterminer les nombres complexes z solutions de l’équation z^n=ZZ est un nombre complexe quelconque et n un entier naturel non nul. Nous allons commencer avec les racines n-ièmes de l’unité z^n=1, avant de passer au cas général, puis nous chercherons à exprimer les racines carrées d’un nombre complexe et nous terminerons par voir comment utiliser nos résultats pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes.

Dans tout le reste de cet article de mathématiques, z et Z sont deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

Racines n-ièmes de l’unité

Cherchons dans un premier temps à résoudre l’équation mathématique :

z^n=1 \hspace{5mm} (1)

z est donc non nul.

Écrivons alors z sous sa forme trigonométrique :

z = |z|e^{i\theta} \hspace{5mm} \theta \in \mathbb{R}

L’équation mathématique (1) devient donc :

|z|^ne^{in\theta}=1

Ainsi |z|^n=1 et que donc |z|=1

Et n\theta=2k\pi \hspace{5mm} k\in\mathbb{Z}

L’ensemble des solutions de l’équation mathématique z^n=1 est donc :

\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} ; k\in\mathbb{Z}\}

Nous notons cet ensemble \mathbb{U}_n, et nous pouvons constater qu’il s’agit d’un sous groupe des nombres complexes de module 1, \mathbb{U}.

Racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque

Passons maintenant au cas général en résolvant l’équation mathématique suivante :

z^n=Z \hspace{5mm} (2)

Tout d’abord remarquons que Z=0 \iff z=0

Plaçons nous donc dans le cas Z \neq 0 et écrivons z et Z sous leur forme trigonométrique :

z = |z|e^{i\theta} \hspace{5mm} \theta \in \mathbb{R}
Z = |Z|e^{i\alpha} \hspace{5mm} \alpha \in \mathbb{R}

L’équation mathématique (2) devient alors :

|z|^ne^{in\theta} = |Z|e^{i\alpha}

Donc :

|z|^n = |Z|
|z| = |Z|^\frac{1}{n}

Et :

n\theta = \alpha + 2k\pi \hspace{5mm} k \in \mathbb{Z}
\theta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n} \hspace{5mm} k \in \mathbb{Z}

Nous en concluons que si Z est non nul :

\displaystyle z^n = Z \iff z = |Z|^{\frac{1}{n}} e^{i\frac{\alpha + 2k\pi}{n}} \quad k \in \mathbb{Z}

Racines carrées d’un nombre complexe non nul

La formule mathématique précédente est pratique si on peut facilement déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe Z, or ce n’est pas souvent le cas. Étudions alors un cas particulier de cette équation pour n=2, résolvons pour Z non nul :

z^2 = Z \hspace{5mm} (3)

Soit (x,y,X,Y) \in \mathbb{R}^4 tel que :

z = x+iy
Z = X +iY

L’équation mathématique (3) devient donc :

x^2-y^2+2ixy = X + iY

Ce qui par unicité des parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe donne :

\left\{ \begin{array}{ll} x^2-y^2 = X \quad (a) \\ 2xy = Y \quad (b) \end{array} \right.

De plus, nous avons l’implication sur les modules de ces nombres complexes z^2 = Z \implies |z|^2 = |Z| donc on a :

x^2+y^2 = \sqrt{X^2+Y^2} \quad (c)

Les relations (a) et (c) nous permettent de déterminer x et y en fonction de X et Y au signe près, tandis que la relation (b) nous permet de déterminer les combinaisons de leur signe possibles.

Après quelques calculs, on obtient les relations mathématiques suivantes :

\left\{ \begin{array}{ll} x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{X^2+Y^2}+X}{2}} \\ y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{X^2+Y^2}-X}{2}} \end{array} \right.

Exemple d’application numérique en résolvant l’équation mathématique :

z^2 = 3+4i

D’après les calculs qui précédent, on a donc :

\left\{ \begin{array}{ll} x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{9+16}+3}{2}} \\ y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{9+16}-3}{2}} \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{ll} x = \pm 2 \\ y = \pm 1 \end{array} \right.

Or la relation (b) nous indique que x et y doivent être de même signe. Les deux solutions de l’équation sont donc :

z_1 = 2+i \quad et \quad z_2 = -2 -i

Équation du second degré à coefficients complexes

Maintenant que nous maîtrisons la résolution de l’équation mathématique z^n=Z, passons à la résolution des équations du second degré à coefficients complexes :

az^2+bz+c=0\thinspace (a,b,c) \in \mathbb{C}^3 \thinspace et \thinspace a \thinspace non nul

Tout comme pour les équations du second degré à coefficients réels, cherchons à factoriser cette expression mathématique :

a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{b^2}{4a^2}\right) = \frac{b^2}{4a} - c
\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

Posons \Delta = b^2-4ac

Si \Delta = 0, alors l’équation a une et une seule solution z = -\frac{b}{2a}

Si \Delta \neq 0, alors d’après ce que nous avons vu au chapitre précédent, \Delta a deux racines carrées \delta et -\delta, et donc l’équation a deux solutions qui sont :

\displaystyle z_1 = \frac{\delta - b }{2a}\quad et \quad \displaystyle z_2 = \frac{-\delta - b }{2a}