Résolution d'équations du 3e degré - Méthode de Tartaglia

Dans cet article nous allons découvrir une méthode inventée par le mathématicien Niccolo Fontana Tartaglia au XVIe siècle pour résoudre les équations du 3e degré à coefficients réels dans le corps des nombres complexes. Alors bien sûr l’étude sur les nombres complexes ayant réellement débutée en 1572 avec Raphaël Bombelli, et Tartaglia étant mort en 1557, ce dernier se contenta de son vivant des solutions réelles des équations du 3e degré, mais sa méthode a été généralisée depuis.

Cas particulier

Commençons par étudier le cas particulier des équations du 3e degré de la forme suivante :

(1) \quad z^3 + pz + q = 0 \quad (p,q) \in \mathbb{R}^2

Toute l’astuce de Tartaglia consiste à se rapporter à une équation de second degré pour résoudre cette équation du 3e degré.

Pour cela, soit (u,v) \in \mathbb{C}^2 deux nombres complexes tels que uv=-\frac{p}{3}

Le nombre complexe (u+v) est solution de (1) si et seulement si :

(u+v)^3+p(u+v)+q=0

u^3+v^3+3u^2v+3uv^2+p(u+v)+q=0

u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q=0

Or 3uv = -p, donc u^3+v^3=-q

Or u^3 et v^3 sont solutions de l’équation du second degré suivante :

X^2-(u^3+v^3)X+u^3v^3=0

Je conclus que pour deux nombres complexes u et v tels que uv=-\frac{p}{3}, alors u+v est solution de l’équation z^3+pz+q=0 si et seulement si u^3 et v^3 sont solutions de l’équation :

\displaystyle (2) \hspace{5mm} X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0

Maintenant il ne nous reste plus qu’à résoudre cette dernière équation mathématique.

Soit \displaystyle \Delta = q^2+\frac{4}{27}p^3

Cas où delta est strictement positif

Alors l’équation mathématique (2) admet deux solutions réelles distinctes U et V qui vérifient :

\left\{ \begin{array}{l} u^3=U \\ v^3=V \end{array} \right.

L’étude des racines n-ièmes d’un nombre complexe nous permet de conclure que :

\left\{ \begin{array}{l} u \in \{U^\frac{1}{3} ; U^\frac{1}{3}j ; U^\frac{1}{3}\bar{j}\} \\ v \in \{V^\frac{1}{3} ; V^\frac{1}{3}j ; V^\frac{1}{3}\bar{j}\} \end{array} \right.

Or la relation mathématique uv=-\frac{p}{3} implique que uv \in \mathbb{R}, ainsi :

(u,v) \in \{(U^\frac{1}{3},V^\frac{1}{3}) ; (U^\frac{1}{3}j,V^\frac{1}{3}\bar{j}) ; (U^\frac{1}{3}\bar{j},V^\frac{1}{3}j)\}

On peut en conclure que l’équation mathématique (1) a trois solutions possibles :

\left\{ \begin{array}{l} z_1 = U^\frac{1}{3}+V^\frac{1}{3} \\ z_2 = U^\frac{1}{3}j + V^\frac{1}{3}\bar{j} \\ z_3 = U^\frac{1}{3}\bar{j} + V^\frac{1}{3}j = \overline{z_2} \end{array} \right.

Cas où delta est nul

Alors l’équation mathématique (2) admet une unique solution réelle :

U=V=-\frac{q}{2}, et donc :

\left\{ \begin{array}{l} u^3=-\frac{q}{2} \\ v^3=-\frac{q}{2} \end{array} \right.

(u,v) \in \{U^\frac{1}{3} ; U^\frac{1}{3}j ; U^\frac{1}{3}\bar{j} \}^2

Or uv = -\frac{p}{3} \in \mathbb{R}, donc :

(u,v) \in \{(U^\frac{1}{3},U^\frac{1}{3}) ; (U^\frac{1}{3}j,U^\frac{1}{3}\bar{j}) ; (U^\frac{1}{3}\bar{j},U^\frac{1}{3}j)\}

On peut en conclure que l’équation mathématique (1) a deux solutions possibles :

\left\{ \begin{array}{l} z_1 = 2U^\frac{1}{3} \\ z_2 = -U^\frac{1}{3} \end{array} \right.

Cas où delta est strictement négatif

Alors l’équation mathématique (2) admet deux nombres complexes conjugués U et \overline{U} comme solutions.

Soit u_0 une racine cubique de U et comme uv = -\frac{p}{3} \in \mathbb{R}, alors (u,v) \in \{(u_0,\overline{u_0}) ; (u_0j,\overline{u_0j}) ; (u_0\bar{j},\overline{u_0}j) \}

On peut en conclure que l’équation mathématique (1) a trois solutions réelles possibles :

\left\{ \begin{array}{l} z_1 = 2\Re(u_0) \\ z_2 = 2\Re(u_0j) \\ z_3 = 2\Re(u_0\bar{j}) \end{array} \right.

Cas général

Cherchons maintenant à résoudre une équation du 3e degré à coefficients réels de la forme générale :

(3) \quad z^3+az^2+bz+c=0 \quad (a,b,c) \in \mathbb{R}^3

Posons alors Z = z+\frac{a}{3}, on a donc :

(Z-\frac{a}{3})^3+a(Z-\frac{a}{3})^2+b(Z-\frac{a}{3})+c=0
Z^3+\frac{a^2}{3}Z-aZ^2-\frac{a^3}{27}+aZ^2+\frac{a^3}{9}-2\frac{a^2}{3}Z+bZ-\frac{a}{3}b+c=0
Z^3+(\frac{a^2}{3}-2\frac{a^2}{3}+b)Z-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{a}{3}b+c=0

(4) \quad Z^3+(b-\frac{a^2}{3})Z+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0

La résolution de l’équation mathématique du 3e degré à coefficients réels de forme générale (3) équivaut donc à la résolution de l’équation (4) et nous revenons donc au cas particulier étudié précédemment.

Nous connaissons donc une technique pour résoudre les équations du 3e degré à coefficients réels dans le corps des nombres complexes grâce à la méthode de Tartaglia.