Toutes les formules de trigonométrie et leur démonstration

Les formules trigonométriques sont très régulièrement utilisées en mathématiques, il est important de les connaître (ou de pouvoir les retrouver rapidement avec quelques méthodes mnémotechniques), d’autant plus que le programme scolaire en France impose leur connaissance aux élèves de terminale et aux étudiants de fac et de classes prépa. En fait, il vous suffit de connaître quelques formules de trigonométrie dans les cas généraux pour pouvoir en déduire les autres facilement. Les démonstrations mathématiques de ces formules ne sont pas non plus très difficiles à comprendre, il faut juste bien les aborder.

Signification géométrique des fonctions cosinus et sinus

Les deux principales fonctions trigonométriques cosinus et sinus peuvent faire peur au premier abord, mais si on comprend à quoi elles correspondent géométriquement alors elles deviennent tout de suite plus faciles à appréhender.

Soit a un nombre réel et (O,\vec{i},\vec{j}) un repère orthonormé. On note A le point tel que OA = 1 et tel que l’angle (\vec{i},\overrightarrow{OA}) soit égal à a.

Alors \cos(a) et \sin(a) ne sont rien d’autres que l’abscisse et l’ordonnée du point A, en d’autres termes : \overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}.

Cosinus et sinus en géométrie

Formules de trigonométrie : addition

\forall (a,b) \in \mathbb{R}²
\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a
\sin (a-b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a

Démonstration mathématique :

Soient a et b deux nombres réels. Soit (O,\vec{i},\vec{j}) un repère orthonormé. On note A le point tel que OA=1 et tel que l’angle (\vec{i},\overrightarrow{OA}) = a.

On note B le point tel que OB=1 et tel que l’angle (\vec{i},\overrightarrow{OB}) = a+b.

Enfin on note A^\prime le point tel que OA^\prime = 1 et tel que l’angle (\vec{i},\overrightarrow{OA^\prime}) = a + \frac{\pi}{2}.

On a donc :
\overrightarrow{OA} = \cos(a)\vec{i}+\sin(a)\vec{j}
\overrightarrow{OB} = \cos(a+b)\vec{i}+\sin(a+b)\vec{j}
\overrightarrow{OA^\prime} = \cos(a+\frac{\pi}{2})\vec{i}+\sin(a+\frac{\pi}{2})\vec{j}
\overrightarrow{OA^\prime} = -\sin(a)\vec{i}+\cos(a)\vec{j}

Or dans le repère orthonormé (O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA^\prime}) :
\overrightarrow{OB} = \cos(b)\overrightarrow{OA}+\sin(b)\overrightarrow{OA^\prime}

Donc :

\overrightarrow{OB} = \cos (a) \cos (b) \vec{i} + \sin (a) \cos (b) \vec{j} - \sin (a) \sin (b) \vec{i} + \cos (a) \sin (b) \vec{j}
\overrightarrow{OB} = (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))\vec{i} + (\sin (a) \cos (b) + \sin (b) \cos (a)) \vec{j}

Par unicité des coordonnées dans (O,\vec{i},\vec{j}), on obtient bien :
\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}
\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}

En remplaçant b par -b et en considérant que :
\cos(-b) = \cos{b}
\sin(-b) = -\sin{b}

Ainsi on en déduit facilement les formules mathématiques suivantes :
\cos(a-b) = \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}
\sin(a-b) = \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b}

CQFD

Formules de trigonométrie : duplication

En prenant b=a, on obtient facilement les formules mathématiques suivantes :

\cos 2a = \cos^2 a - \sin² a
\cos 2a = 2 \cos² a - 1
\cos 2a = 1 - 2 \sin² a
\sin 2a = 2 \sin a \cos a

Formules de trigonométrie : linéarisation

Grâce aux formules mathématiques précédentes, on obtient :

\displaystyle \cos² a = \frac{1 + \cos 2a}{2}
\displaystyle \sin² a = \frac{1 - \cos 2a}{2}